کتاب دیاگرام های نیروی محوری نیروی برشی و ممان خمشی | 160 صفحه

کتاب دیاگرامهای نیروی محوری نیروی برشی و ممان خمشی اثر علی خیرالدین یکی از کتاب‌های تخصصی انتشارات دانشگاه سمنان برای دانشجویان رشته عمران است.

انتشارات دانشگاه سمنان با بهره گیری از بیش از ۳۵۰ هیات علمی دانشکده‌ها و گروه‌های آموزشی مختلف خود مفتخر به تالیف و ترجمه بیش از ۱۰۰۰۰۰ صفحه محتوای آموزشی در بیش از ۳۰۰ عنوان کتاب چاپی بوده و در تولید و توسعه هرچه بیشتر علوم و فنون نوین در ایران عزیز تلاش می‌نماید.

بیش از ۵ عنوان از کتاب‌های اساتید هیات علمی این دانشگاه به چاپ سوم رسیده و بیش از ۳۰ عنوان نیز چاپ دوم خود را پشت سر گذاشته‌اند و به عنوان مراجع علمی و آموزشی در دانشگاه‌های کشور مورد استفاده علم آموزان قرار گرفته‌اند.

یکی از اطلاعات مهمی که معمولاً در هنگام طراحی‌ها تیرها مورد استفاده قرار می‌گیرد، نحوه تغییرات نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی در طول تیر است. در این میان، اطلاعاتی نظیر مقادیر ماکسیمم و مینیمم این کمیت‌ها نیز از اهمیت ویژه‌ای برخوردار هستند. رسم نمودارهای تغییرات نیروی برشی یا گشتاور خمشی نسبت به فاصله نقطه مورد بررسی تا انتهای تیر، اطلاعات مذکور را برای ما فراهم می‌کنند. این نمودارها با عناوین «نمودار نیروی برشی» (Shear Force Diagram) و «نمودار گشتاور خمشی» (Bending Moment Diagram) شناخته می‌شوند. البته در صورت متحرک بودن بار، این نمودارها به همراه خط تاثیر مورد استفاده قرار می‌گیرند. در این مقاله، نحوه رسم و تفسیر نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی برای سه حالت بارگذاری (یک بار متمرکز، یک بار گسترده یکنواخت و چندین بار متمرکز) را مورد بررسی قرار خواهیم داد. علاوه بر این، در بخش دوم مقاله نیز برای آشنایی بیشتر با روش‌های تحلیل این حالت‌های بارگذاری، به تشریح چندین مثال متنوع خواهیم پرداخت.

 

مثال 1

شکل زیر، تیر ساده‌ای را نمایش می‌دهد که در معرض یک بار گسترده یکنواخت با شدت q قرار دارد. این بار گسترده فقط به بخشی از تیر اعمال می‌شود. با توجه به پیکربندی تیر و اطلاعات مسئله، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را رسم کنید.

تحلیل این مثال را با تعیین عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی تیر شروع می‌کنیم. به این منظور نمودار جسم آزاد کل تیر را در نظر بگیرید.

با توجه به نمودار جسم آزاد کل تیر، روابط مورد نیاز برای تعیین عکس‌العمل‌های R_A و R_B به صورت زیر خواهند بود:

نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی

به منظور تعیین نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی برای کل تیر باید تیر را به سه بخش مجزا تقسیم کنیم. به این ترتیب، باید ایجاد یک برش برای هر بخش، نیروی برشی V و گشتاور خمشی M درون تیر مشخص می‌شود. در مرحله بعد، با در نظر گرفتن V و M به عنوان مجهولات مسئله، نمودار جسم آزاد آن بخش تیر را رسم می‌کنیم (به عنوان نمونه، نمودار جسم آزاد بخش میانی تیر در شکل زیر نمایش داده شده است).

در مرحله آخر، با جمع نیروهای موجود در راستای عمودی، روابط نیروی برشی و با جمع گشتاورهای حول سطح مقطع ایجاد شده، روابط گشتاور خمشی در هر بخش را به دست می‌آوریم:

روابط بالا برای محاسبه نیروی برشی و گشتاور خمشی در تمام مقاطع تیر مورد استفاده قرار می‌گیرند. تمام عبارت‌های موجود در این روابط با در نظر گرفتن قاعده علامت‌گذاری تغییر شکل بیان شده‌اند. با توجه به مطالب ارائه شده در مبحث «روابط بین بار، نیروی برشی و گشتاور خمشی در تیرها»، مشتق dV/dx=-q و مشتق dM/dx=V است. با از استفاده از این نکته و مشتق گرفتن از روابط بالا می‌توانیم صحت آن‌ها را مورد بررسی قرار دهیم.

نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی

در این مرحله، با استفاده از روابط به دست آمده در بخش قبل، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را مطابق شکل‌های زیر رسم می‌کنیم. نمودار نیروی برشی دارای خطوط افقی در نواحی بدون بارگذاری و یک خط شیب‌دار مستقیم (با شیب منفی) در ناحیه بارگذاری است.

نمودار گشتاور خمشی نیز دو خط شیب‌دار مستقیم در نواحی بدون بارگذاری و یک منحنی سهمی‌وار در ناحیه بارگذاری را نمایش می‌دهد. شیب خطوط مستقیم به ترتیب برابر با R_A و R_B– است. علاوه بر این، این خطوط شیب‌دار در نقطه برخورد با منحنی سهمی‌وار بر آن مماس هستند. توجه داشته باشید که بر اساس قاعده علامت‌گذاری تغییر شکل، نمودار گشتاور خمشی ناحیه تحت فشار تیر را نمایش می‌دهد. به این ترتیب، تمام سطح بالایی تیر در معرض فشار قرار دارد. این موضوع با توجه به پیکربندی تیر و نحوه اعمال نیرو قابل پیش‌بینی بود.

گشتاور خمشی ماکسیمم

گشتاور خمشی ماکسیمم در محلی رخ می‌دهد که نیروی برشی در آن صفر باشد. اگر روابط به دست آمده برای V (رابطه بخش دوم در این مثال) را برابر با صفر قرار دهیم، محل رخ دادن گشتاور خمشی ماکسیمم مشخص می‌شود:

با جایگذاری x₁ در رابطه M (رابطه بخش دوم در این مثال)، رابطه گشتاور خمشی ماکسیمم نیز به دست می‌آید:

گشتاور خمشی ماکسیمم همیشه در بین ناحیه اعمال بار گسترده رخ می‌دهد. در یک حالت خاص، اگر بار گسترده به صورت متقارن بر روی تیر اعمال شود (a=c)، روابط بالا به صورت زیر ساده خواهند شد:

در صورت اعمال بار گسترده بر روی تمام طول تیر، M_max=qL²/8 خواهد بود.

مثال 2

شکل زیر، تیر یکسر گیرداری را نمایش می‌دهد که در معرض دو بار متمرکز قرار دارد. با توجه به پیکربندی تیر و اطلاعات مسئله، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را رسم کنید.

عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی

با توجه به نمودار جسم آزاد کل تیر (شکل بالا)، عکس‌العمل عمودی R_B و گشتاور عکس‌العمل M_B قابل محاسبه خواهند بود:

توجه: جهت رو به بالا برای نیروی عکس‌العمل عمودی و چرخش پادساعت‌گرد برای گشتاور عکس‌العمل به عنوان جهت‌های مثبت در نظر گرفته می‌شوند.

نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی

با ایجاد برش در هر یک از بخش‌های تیر، رسم نمودارهای جسم آزاد مربوط به آن‌ها و حل معادلات تعادل، امکان تعیین نیروهای برشی و گشتاورهای خمشی فراهم می‌شود:

نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی

شکل‌های زیر، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را نمایش می‌دهند. همان طور که مشاهده می‌شود، نیروی برشی در بین نقاط بارگذاری دارای یک مقدار ثابت است و در محل قرارگیری تکیه‌گاه به مقدار حداکثری خود (R_B) می‌رسد.

نمودار گشتاور خمشی شامل دو خط راست می‌شود که شیب هر یک از آن‌ها با نیروی برشی بخش مربوطه برابر است. مقدار حداکثری گشتاور خمشی در تکیه‌گاه رخ می‌دهد. این مقدار از نظر عددی با گشتاور عکس‌العمل M_B و مساحت کل نمودار نیروی برشی برابری می‌کند.

به دلیل ثابت بودن نمودار نیروی برشی در بین نقاط بارگذاری، نمودار گشتاور خمشی در بین این نقاط به صورت خطی است. نمودار گشتاور خمشی، ناحیه تحت فشار تیر را نمایش می‌دهد (در این مثال سطح زیر تیر). به همین دلیل، سطح بالایی تیر در معرض کشش قرار دارد.

مثال 3

شکل زیر، یک تیر ساده با انتهای آزاد را نمایش می‌دهد. یک بار گسترده یکنواخت با شدت q=400lb/ft بر روی تمام طول تیر اعمال می‌شود. علاوه بر این، این تیر در فاصله 9 فوتی از تکیه‌گاه سمت چپ خود تحت بار متمرکز P=2400lb نیز قرار دارد. با توجه به پیکربندی تیر و اطلاعات مسئله، ابتدا روابط مورد نیاز برای تعیین نیروی برشی V و گشتاور خمشی M را به صورت تابعی از x (فاصله تا تکیه‌گاه سمت چپ) به دست آورید. سپس، نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی را رسم کنید.

عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی

برای شروع تحلیل، ابتدا نمودار جسم آزاد کل تیر را مطابق شکل زیر رسم می‌کنیم. در مرحله بعد، نیروهای عکس‌العمل R_A و R_B را به دست می‌آوریم. سپس با ایجاد برش در نقطه D، مقدار نیروی برشی V_D و گشتاور خمشی M_D در این نقطه را مورد محاسبه قرار می‌دهیم. در این مرحله، تغییرات نیروی برشی V و گشتاور خمشی M بر روی تمام طول تیر قابل محاسبه و رسم خواهد بود. با توجه به اعمال بار متمرکز P و نیروی عکس‌العمل R_B، توابع معرف نیروی برشی (V(x و گشتاور خمشی (M(x دارای بخش‌های جداگانه هستند. از این‌رو، به منظور دستیابی به توابع (V(x و (M(x در طول کل تیر باید سه برش جداگانه را مورد بررسی قرار دهیم.

بر اساس نمودار جسم آزاد کل تیر (شکل بالا) می‌توانیم نیروهای عکس‌العمل R_A و R_B را به ترتیب با جمع نیروهای موجود در راستای y و جمع گشتاورهای حول نقطه A به دست بیاوریم:

با حل معادله دوم، R_B=8400lb و با قرار دادن این مقدار در معادله اول و حل آن، R_A=6000lb خواهد بود. این مقادیر برای تعیین توابع (V(x و (M(x در برش‌های مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرند.

نیروی برشی (V(x و گشتاور خمشی (M(x

بر اساس مکان‌های مشخص شده در شکل قبلی (شماره‌های 1 تا 3)، نمودار جسم آزاد کل تیر را به سه نمودار جسم آزاد مجزا تقسیم می‌کنیم. توجه داشته باشید که دو نمودار، برش مربوطه نسبت به تکیه‌گاه سمت چپ و در یک نمودار، این برش نسبت تکیه‌گاه سمت راست ایجاد شده است.

اکنون از نمودارهای جسم آزاد بالا برای تعیین توابع (V(x در بخش‌های مختلف تیر استفاده می‌کنیم:

برای نمودار جسم آزاد سوم بخش سوم (نمودار راست)، یافتن تابع (V(x با استفاده از بخش سمت راست تیر راحت‌تر از به کارگیری بخش سمت چپ است (به دلیل عدم وجود نیروی عکس‌العمل R_A و بار P در نمودار سمت راست). در مرحله بعد، توابع (M(x در هر یک از بخش‌ها را به دست می‌آوریم:

مقدار ماکسیمم نیروی برشی در فاصله بین تکیه‌گاه‌های A و B رخ می‌دهد. گشتاور خمشی ماکسیمم نیز در محلی با V=0 اعمال می‌شود. اگر تابع (V(x را برابر با صفر قرار دهیم، محل رخ دادن گشتاور خمشی ماکسیمم در x=x_m=9ft به دست می‌آید. با جایگذاری x_m در تابع گشتاور، مقدار M(x_m)=M_max=37800lb-ft نیز تعیین می‌شود.

نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی

یکی از روش‌های رسم نمودارهای نیروی برشی و گشتاور خمشی، تعیین توابع (V(x و (M(x برای تمام طول تیر و استفاده از نرم‌افزارهای کامپیوتری به منظور رسم این نمودارها است. در روش دیگر، از تفسیر گرافیکی روابط بین بار، نیروی برشی و گشتاور خمشی برای رسم نمودارهای V و M استفاده می‌شود. بر اساس این روش گرافیکی، نمودارهای زیر به دست می‌آیند:

در ادامه، نکات مورد نیاز برای مراحل رسم نمودارهای بالا را به صورت گام به گام توضیح می‌دهیم:

• الف: مقدار نیروی برشی V در فاصله بسیار کمی از سمت راستِ نقطه A با نیروی عکس‌العمل R_A برابر است. با فاصله گرفتن از این نقطه، نیروی برشی متناسب با شدت بار q بر واحد فوت کاهش می‌یابد. به این ترتیب، در فاصله x=9ft، مقدار این نیرو از 6000lb به [6000lb-(9ft*400lb/ft)=2400lb] می‌رسد.
• ب: شیب خط مماس بر نمودار نیروی برشی با مقدار منفی عرض نمودار بارگذاری برابر است (dV/dx=-q(x. به دلیل ثابت بودن بار (q(x، نیروی برشی به صورت خطی تغییر می‌کند.
• ج: در فاصله بسیار کوچکی از سمت راست محل اعمال بار متمرکز، مقدار نیروی برشی (2400lb) به اندازه P=2400lb کاهش می‌یابد. به این ترتیب، نیروی برشی در این نقطه به مقدار صفر می‌رسد. در نتیجه، این نقطه (x_m=9ft) بیانگر محل رخ دادن گشتاور ماکسیمم مثبت خواهد بود.
• د: میزان تغییرات گشتاور خمشی از تکیه‌گاه A (فاصله x=0) تا محل رخ دادن گشتاور ماکسیمم (x=9ft) با مساحت زیر نمودار نیروی برشی در همین محدوده برابر خواهد بود. این ناحیه ذوزنقه‌ای شکل در نمودار نیروی برشی با عنوان A₁ علامت‌گذاری شده است

 

 

 

 

دیاگرام های نیروی محوری، نیروی برشی و ممان خمشی

دیاگرام‏‌های نیروی محوری در یک کتاب

 

 

 

این انتشارات در راستای ترویج علم و فرهنگ اصیل ایرانی اسلامی موفق به چاپ بیش از ۲۰ عنوان کتاب در زبان‌های عربی، انگلیسی و فرانسوی شده و تلاش‌ها در راستای صادرات علمی همچنان ادامه داشته و خواهد داشت.

کتاب‌های انتشارات دانشگاه سمنان همگی ویژگی‌های برجسته‌ای همچون تالیف و ترجمه توسط کادر علمی مجرب و بنام، همکاری با مولفین و مترجمین غیر دانشگاهی،بهره‌گیری از تکنولوژی‌های روز دنیا در صنعت چاپ و رعایت اصول و استانداردهای نگارشی و ادبی هستند.

 

 

ucgadget.com

 

دیاگرام‏‌های نیروی محوری در یک کتاب

دیاگرام های نیروی محوری، نیروی برشی و ممان خمشی

IRT 5,000 – خرید نهایی کردن خرید مورد به سبد خرید اضافه شد