درس اول: آنالیز فوریه

• تعاریف و اعمال
  • انگیزه تعریف
  • تعریف تابع زوج
  • تعریف تابع فرد
  • تعریف تابع متناوب
  • نمادهای کاربردی
  • اعمال روی توابع
  • تعریف نُرم تابع
  • تعریف توابع متعامد
  • حل مثال های متنوع و کاربردی
• سری فوریه و کاربردهای آن
  • تعریف سری فوریه
  • اتحاد پارسوال
  • سری فوریه مثلثاتی
  • انتگرال و مشتق سری فوریه
  • سری فوریه سینوسی
  • سری فوریه کسینوسی
  • اتحاد پارسوال برای سری فوریه سینوسی و کسینوسی
  • سری فوریه مثلثاتی در بازه [a,b]
  • حل مثال های متنوع و کاربردی
•  انتگرال فوریه
  • انتگرال فوریه
  • اتحاد پارسوال
  • انتگرال فوریه سینوسی
  • انتگرال فوریه کسینوسی
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی
•  تبدیل فوریه
  • خواص تبدیل فوریه
  • قضیه تقارن
  • قضیه انتقال زمان
  • قضیه انتقال فرکانس
  • قضیه مشتق فرکانس
  • قضیه تعمیم مشتق فرکانس
  • تعریف کانولوشن
  • قضیه کانولوشن فرکانس
  • قضیه کانولوشن زمان
  • قضیه پارسوال
  • تبدیل فرویه معکوس
  • تبدیل فرویه سینوسی
  • تبدیل فرویه کسینوسی
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی

درس دوم: آنالیز مختلط

• مفاهیم، اصول و قضایا
  • تعریف اعداد مختلط
  • مزدوج عدد مختلط
  • تساوی اعداد مختلط
  • اعمال بین اعداد مختلط
  • عمل جمع و ضرب و تقسیم
  • محاسبات معادلات و نامعادلات مختلط
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی
• نمایش قطبی عدد مختلط
  • تعریف حالت قطبی مختلط
  • ضرب دو عدد در حالت قطبی
  • ریشه n ام عدد مختلط
  • توان n  ام عدد مختلط
  • حل معادلات توانی مختلط
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی
•  توابع مختلط
  • تابع حقیقی
  • تابع مختلط
  • ارتباط بین حالت های قطبی و مختلط
  • حد و پیوستگی توابع مختلط
  • توابع مختلط پیوسته
  • توابع مختلط ناپیوسته
  • قضایای مربوط به حد و پیوستگی
  • مشتق پذیری توابع مختلط
  • شروز لازم و کافی در مشتق پذیری مختلط
  • معادلات کوشی ریمان
  • قضیه های مربوط به مشتق پذیری توابع مختلط
  • صورت قطبی معادلات کوشی ریمان
  • توابع تحلیلی مختلط
  • قضایای مربوط به توابع تحلیلی
  • تابع همساز یا موزون
  • تابع تام
  • تابع مزدوج همساز
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی
•  نگاشت ها (توابع مقدماتی مختلط)
  • نگاشت نمایی e^z
  • بررسی خطوط قائم در نگاشت نمایی
  • بررسی خطوط افقی در نگاشت نمایی
  • نگاشت مختلط توانی z^n
  • بررسی خطوط قائم و افقی نگاشت نمایی
  • تبدیل خطی
    • حالت اول: نگاشت انتقال
    • حالت دوم: نگاشت دوران
  • نگاشت انعکاس
  • دستگاه توسعه یافته اعداد مختلط
  • تبدیل های خطی-کسری
  • نگاشت دوخطی یا موبیوس
  • نگاشت انتقال
  • نگاشت دوران
  • نگاشت انعکاس
  • نگاشت وارن پذیر
  • قضایای مربوط به نگاشت ها
  • نگاشت توابع مثلثاتی مختلط
  • تصویر خطوط قائم و افقی توابع مثلثاتی
  • توابع هذلولوی یا هایپربولیک
  • تصویر خطوط قائم و افقی توابع هذلولوی
  • نگاشت لگاریتم
  • خواص تابع لگاریتم
  • وارون توابع مثلثاتی و هذلولی مختلط
  • حل انواع مثال و تمرین کاربردی
•  انتگرال گیری مختلط
  • تعریف انتگرال مختلط
  • تعریف مسیر
  • مسیر بسته
  • مسیر باز
  • مسیر هموار
  • خواص انتگرال مختلط
  • قضیه کوشی
  • تابع مستقل از مسیر
  • تابع وابسته به مسیر
  • کرانداری مختلط
  • تعمیم قضیه کوشی
  • مفهوم دنباله در اعداد مختلط
  • سری توانی
  • سری تیلور
  • سری مکلورن
  • سری لوران
  • نقط تکین منفرد
  • انواع نقاط تکین
  • نقطه تکین اساسی
  • قطب مرتبه m ام
  • قطب ساده
  • تکین رفع شدنی
  • مبحث مانده ها
  • محاسبه مانده در قطب مرتبه m ام
  • قضایای مربوط به مانده ها
  • حل انواع تمرین و مثال کاربردی و تحلیلی

درس سوم: معادلات با مشتقات جزئی

مساله اشتورم لیوویل

• مقدمه
• معادله (مساله) اشتورم لیوویل
• ارتباط معادله اشتورم لیوویل با معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
• مساله مقدار مرزی اشتورم لیوویل
• مقادیر و توابع ویژه در معادله اشتورم لیوویل
• حل انواع مثال برای درک مفاهیم
• معادله اشتورم لیوویل منظم حقیقی

معادله گرما

• تعریف معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی
• ODE
• PDE
• مرتبه معاله دیفرانسیل
• مسایل مقدار مرزی
• معادله گرما
• معادله گرمای دو بعدی و سه بعدی
• به دست اوردن گرمای میله
• معادله گرمای همگن
• روش حل معادله گرمای همگن
• روش فوریه یا روش جداسازی متغیرها
• حل انواع مثال برای درک مطالب
• معادله گرمای غیر همگن
• روش حل معادله کرمای غیر همگن
• انواع مثال برای درک مطالب
• معادله گرمای میله ی نیمه متناهی
• مدل گرما برای میله ی نامتناهی

معادله لاپلاس

• تعریف معادله لاپلاس
• حل معادله لاپلاس با شرایط مرزی
• معادله لاپلاس نامتناهی
• حل معادله لاپلاس نامتناهی
• مساله دیریکله
• مساله نویمان
• معادله لاپلاس روی دایره
• دمای مستقل از زمان
• معادله لاپلاس خارج یک نیم دایره
• حل تمرین های و مثال های متنوع

معادله موج

• معادله موج، تعریف و مفهوم
• معادله موج با شرایط مرزی
• معادله موج نیمه متناهی
• معادله موج نامتناهی
• حل معادله موج نامتناهی با استفاده از تبدیل فوریه
• معادله موج ناهمگن
• تبدیل مساله ناهمگن به مساله همگن
• حل مثال های متعدد