جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

استاد پورکی

 

 

حل شدن یک معادله دیفرانسیل به چه معناست؟

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم بیان دارد زمانی یک معادله دیفرانسیل حل شده است که تابع y بر حسب متغیر‌های وابسته‎‌اش پیدا شده باشد.

به طور دقیق‌تر، یعنی اینکه بدانیم مثلا y که تابعی از متغیر x در نظر گرفته‌شده، طبق کدام رابطه توصیف می‌شود.

روش‌های متفاوتی به منظور حل یک معادله دیفرانسیل وجود دارند، اما در ابتدا بایستی بدانیم که چرا معادلات دیفرانسیل مهم هستند.

 

 

 

 

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

 

 

 

 

چرا معادلات دیفرانسیل مفید هستند؟

در دنیایی زندگی می‌کنیم که پدیده‌ها دائماً در حال تغییر هستند. این در حالی است که می‌توان اکثر این دگرگونی‌ها را با استفاده از معادلات دیفرانسیل توصیف کرد.

به عنوان مثال، آلبرت انیشتین به منظور توصیف نیروی گرانشی از معادلات دیفرانسیل استفاده کرد؛

او به کمک این معادلات هم این نیرو را توضیح داد و هم ثابت کرد که امکان سفر به آینده امکان‌پذیر است! در ادامه، دو مثال کاربردی از این معادلات ارائه می‌دهیم.

 

 

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

 

 

 

 

مثال ۱: رابطه بین جمعیت خرگوش‌ها و معادله دیفرانسیل

هرچه خرگوش بیشتری وجود داشته باشد، بچه خرگوش بیشتری نیز وجود خواهد داشت.

این بچه‌ خرگوش‌ها نیز بزرگ خواهند شد و تولید مثل خواهند کرد.

بنابراین با گذشت زمان تعداد خرگوش‌ها بیشتر و بیشتر خواهند شد. خب اجازه دهید ببینیم این روند زیاد شدن به چه شکل و با چه سرعتی اتفاق می‌افتد.

به این منظور در ابتدا فرضیات زیر را در نظر می‌گیریم.

• N: تعداد خرگوش‌ها در زمان t
• r: نرخ تولد (منظور از نرخ تولد، تعداد خرگوش‌هایی است که یک خرگوش و در یک بازه‌ زمانی معین تولید می‌کند.)
• dN/dt: سرعت زیاد شدن تعداد کل خرگوش‌ها

حال این اعداد را در قالب یک مثال واقعی فرض کنید:

• در حال حاضر تعداد کل خرگوش‌ها برابر با N=1000 است.
• هر خرگوش در یک هفته r=0.01 بچه تولید می‌کند.

با دو فرض در نظر گرفته شده در بالا، می‌توان نتیجه گرفت که کل خرگوش‌ها در هر هفته، تعداد dN/dt=1000×0.01=10 بچه جدید به وجود می‌آورند.

توجه کنید که این اعداد فقط با یک مقطع زمانی معین ارتباط دارند و به این معنی نیستند که خرگوش‌ها دائماً در حال افزایش هستند.

 بنابراین، بهتر است بگوییم که نرخ زیاد شدن تعداد خرگوش‌ها  در هر لحظه برابر است با: dN/dt=rN. اگر خوب دقت کنید، این رابطه یک معادله دیفرانسل محسوب می‌شود چرا که در آن (N(t به صورت تابعی از مشتقاتش بیان شده است.

این جا است که به قدرت ریاضیات پی می‌بریم. این معادله می‌گوید: «نرخ رشد جمعیت خرگوش‌ها بر واحد زمان برابر با حاصل ضرب نرخ رشد در تعداد آن‌ها است.»

معادلات دیفرانسیل به ما می‌گویند که چگونه جمعیت زیاد می‌شود، حرکت گرما به چه شکل است، فنر طبق کدام الگو نوسان می‌کند و به همین ترتیب تجزیه شدن مواد رادیواکتیو و بسیاری دیگر از پدیده‌ها را توصیف می‌کنند.

لازم به ذکر است که این معادلات، طبیعی‌ترین راه به منظور نشان دادن مکانیزم کارکرد کائنات هستند.

در ادامه به بررسی مثالی کاربردی می‌پردازیم که ممکن است روزی به کمک‌تان بیاید.

 

 

 

 

 

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

 

 

 

 

مثال ۲: بهره مرکب

اندوخته پولی، منجر به ایجاد بهره خواهد شد؛ بهره این اندوخته را می‌توان سالانه، ماهانه و به شیوه‌های دیگر محاسبه کرد. نهایتا بهره محاسبه شده به مقدار اولیه اضافه خواهد شد. این مفهوم، بهره مرکب نامیده می‌شود.

زمانی که بهره به صورت دائمی وجود داشته باشد، میزان اندوخته انباشه شده در زمان نیز، پیوسته افزایش می‌یابد.

این در حالی است که هرچه اندوخته بیشتر باشد، بهره به دست آمده نیز بیشتر خواهد بود. به منظور درک بهتر به مثال ارائه شده در ادامه توجه فرمایید. در این مثال از نماد‌های زیر استفاده می‌کنیم:

• t: زمان
• r: نرخ بهره
• V: مقدار سرمایه اندوخته شده

نکته جالب اینکه رابطه مورد اشاره بسیار شبیه به تفسیر معادلات دیفرانسیل در مورد زیاد شدن خرگوش‌ها است و فقط نماد‌ها هستند که تغییر کرده‌اند.

بنابراین ریاضیات به ما نشان می‌دهد که چگونه دو پدیده می‌توانند مشابه یکدیگر رفتار کنند.

 

 

 

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

 

 

 

 

 

حل یک معادله دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل همواره در توضیح پدیده‌ها به ما کمک می‌کنند، اما استفاده از آن‌ها نیز معمولا مشکل به نظر می‌رسد. خوشبختانه معادله بیان شده در مثال قبلی – با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها – قابل حل است. 

 

 

 

 

مطالب مرتبط :

جزوه نکته و تست معادلات دیفرانسیل | 20 میشم

دانلود 5 جزوه برتر معادلات دیفرانسیل | رنگی

جزوه کامل معادلات دیفرانسیل | استاد رمضانی ( دانشگاه امیرکبیر )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ucgadget.com

 

 

IRT 7,000 – خرید نهایی کردن خرید مورد به سبد خرید اضافه شد