معادلات حاکم بر یک سیستم ایستا

جسمی شامل N ذره را تصور کنید که تعدادی نیروی خارجی به آن وارد می‌شود. در بخش اول مطلب تکانه بیان کردیم که برای چنین سیستمی، تغییرات تکانه خطی نسبت به زمان، نیروی خالص وارد شده به جسم را نشان می‌دهد. بنابراین برای این سیستم می‌توان گفت:

معادله ۱         $$\frac{dP}{dt}=F$$

در معادله بالا P تکانه خطیِ کلِ سیستم محسوب می‌شود و نیروی F نیز به صورت زیر بیان می‌شود.

$$F=\sum _{i=1}^N{F}_i$$

عبارت بالا تمامی نیروهای وارد شده به سیستم را نشان می‌دهد. بنابراین توجه داشته باشید که $$F_i$$ برابر با نیروی وارد شده به بخش iام سیستم است. در بخش‌های گذشته بیان کردیم که معادله ۱ نشان دهنده حرکت انتقالیِ مرکز جرم یک سیستم است. اما واقعیت این است که برای توصیف کامل یک سیستم، نیازمند تحلیل و بررسی حرکت دورانی آن نیز هستیم. در بخش سوم مبحث تکانه معادلات مربوط به حرکت دورانی سیستمِ متشکل از N ذره را مورد بررسی قرار دادیم. در بخش مذکور، معادله دوران یک سیستم را به صورت زیر توصیف کردیم:

$$\frac{dL}{dt}=\tau$$

در معادله بالا، L بیان کننده تکانه زاویه‌ای کلی سیستم – حول مرکز دوران – است. هم‌چنین τ (گشتاور خالص خارجی به سیستم) را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

$$\tau =\sum _{i=1}^{i=n}{r}_i\times F_i$$

در معادله بالا r_i نشان دهنده بردار جابجایی ذره iامِ سیستم است. به نظر شما به‌منظور ایستا بودن یک سیستم، نیروها و گشتاورهای وارد شده به آن بایستی به چه شکل باشند. تغییر نکردن یک سیستم در زمان، به این معنی است که تکانه زاویه‌ای و خطی آن ثابت است. بنابراین دو عبارت $$\frac{dP}{dt}$$و $$\frac{dL}{dt}$$ بایستی برابر با صفر باشند. به یاد دارید که این عبارات برابر با نیرو و گشتاور وارد شده به سیستم هستند. بنابراین در حالت سکون می‌توان گفت:

$$F=0$$

$$\tau =0$$

به عبارت دیگر نیرو و گشتاور خالصِ وارد شده به یک سیستم ساکن، صفر است. واضح است که اصول بیان شده، شرایط لازم برای سیستمی محسوب می‌شوند که با گذشت زمان تغییری در آن اتفاق نمی‌افتد. اما آیا این اصول برای یک سیستم ساکن نیز کافی هستند؟ پاسخ این سوال منفی است. توجه داشته باشید که شرایط بالا تنها ساکن بودن یک سیستم صلب را تضمین می‌کنند. در حقیقت اگر یک سیستم از چندین بخش تشکیل شده باشد، یا به عبارت دیگر صلب نباشد، ساکن بودن آن، تنها با استفاده از قوانین بالا تضمین نخواهد شد.